Пределы и ряды
Для вычисления пределов используется функция Limit. Необязательный параметр Direction применяется для вычисления односторонних пределов, которые используют, в частности, при исследовании функции на непрерывность.
Внимание: Direction -> 1 является указанием для вычисления предела слева, а Direction -> -1 - для предела справа.
увеличить изображение
Константа Infinity обозначает бесконечность, для ее ввода в виде символа
Не все пределы могут быть вычислены таким образом. Дополнительные возможности предоставляет пакет расширений Calculus, подпакет Limit которого переопределяет встроенную функцию Limit. Для загрузки используется команда
<<Calculus`Limit`
Пример
Следующий предел может быть найден только с использованием указанного модуля расширений.
Limit[Cos[n!]/n, n -> Infinity]
Пример
Используем односторонние пределы для исследования функции на непрерывность. Напомним, что функция называется непрерывной в точке x, если она определена в ней и ее значение в этой точке совпадает с левым и правым пределами функции при стремлении к x. Точка x является точкой устранимого разрыва, если пределы слева и справа существуют (принимают конечные значения) и равны, но значение функции f(x) не существует или отлично от них. Точка x называется точкой разрыва первого рода, если пределы не совпадают, но конечны. Наконец, x есть точка разрыва второго рода, если в ней не существует хотя бы одного конечного предела.
Для функции sin(x)/x точка x = 0 является точкой устранимого разрыва, так как существуют пределы слева и справа, равные 1.
Довольно часто в процессе решения различных задач математического анализа приходится сталкиваться с рядами и разложением аналитических функций в ряды. Поэтому в программе Mathematica имеется обширный набор функций для решения подобного рода проблем. Для получения частичной суммы ряда используется функция Sum[f, {i, imin, imax}]. Здесь f - общий член ряда, а imin и imax - границы суммирования.
Большинство достаточно гладких функций довольно точно локально аппроксимируются рядом Тейлора.
Для нахождения n-го многочлена Тейлора в окрестности точки x0 применяется функция Series[f, {x, x0, n}], а удаление остаточного члена ряда выполняется функциями Collect и Normal
Пример
Для того чтобы наглядно представить себе точность апроксимации функции многочленами Тейлора, построим на одном рисунке график функции sin(x)/x и соответствующие ей многочлены Тейлора степеней 3 и 6.
f=Sin[x]/x; f1= Normal[Series[f, {x, 0, 3}]]; f2= Normal[Series[f, {x, 0, 6}]]; Plot[{f, f1, f2}, {x, -10, 10}, PlotStyle -> { {Hue[0], Thickness[.01]}, {Hue[.6], Dashing[{.03}]}, {Hue[.9], Dashing[{.01}]}}]
Задания
- Вычислите пределы:
- Найдите односторонний предел
- Исследуйте функции на непрерывность:
